La Logica Sfumata: quando la Matematica è un’Opinione.

di Nicola Sparvieri

Il termine Logica deriva dalla parola greca "Logos" che ha molti significati, tra i quali: ragionamento, ragione, studio, spiegazione, parola, linguaggio. Dai filosofi presocratici in poi, lungo tutti i tentativi di poter "comprendere il mondo", troviamo le varie forme del Logos, il Principio Primo dal quale tutte le cose hanno origine e possono essere comprese, dal Fuoco o l'Acqua o gli Atomi indivisibili di Democrito, al Logos incarnato, cioè Cristo, del Prologo del Vangelo di Giovanni.

Col procedere della Storia della Civiltà la Logica, intesa come studio del corretto modo di ragionare, ha preso piede ed è diventata lo strumento preliminare indispensabile per intraprendere lo studio di qualunque disciplina.

Partendo dall'analisi del linguaggio umano (analisi logica) essa si è poi allargata al Principe dei linguaggi che è la Matematica e ne ha sondato moltissimi aspetti regalandoci anche alcune splendide e sorprendenti conclusioni (dai Teoremi di incompletezza di Godel alle definizioni di Verità Logiche di Tarsky).

Ma l'aspetto interessante è che la Logica viene accostata a una caratteristica fondamentale di noi umani che è la razionalità. La Scienza, modernamente intesa come applicazione del Metodo Sperimentale di Galileo, è il trionfo della razionalità dell'Occidente. Da essa, oltre a una più profonda comprensione della Natura e dell'Universo, abbiamo sviluppato, come corollario, la Tecnologia (che forse non abbiamo ancora imparato a ben controllare) ma che è senz'altro una parte importante della nostra Civiltà. Le Teorie Scientifiche, che sono basate sulla Matematica, sono una forma molto particolare di Linguaggio nelle quali la Razionalità e la Logica sono ovviamente applicate anche se "contaminazioni" irrazionali nella Scienza ci sono (specie nella scelta degli Assiomi) e sono di grande interesse e fascino.

Dicevo che noi umani abbiamo la caratteristica della Razionalità che è legata al linguaggio, a sua volta legato con le relazioni umane, anche se persino il pensiero potrebbe essere inteso come "linguaggio con se stessi". Tuttavia dobbiamo saper riconoscere che la Razionalità non esaurisce lo specifico dell' "Animale Uomo". Il nostro essere in Carne e Ossa ci proietta mirabilmente nella nostra mortalità la quale apre le porte a quella inquietudine di fondo che ci consente anche di "capire" che la Spiritualità può anche essere qualcosa di "razionale" e necessaria per poter comprendere che, anche nel Mistero, esista una forma profonda di Verità e di Conoscenza.

I nostri stessi Comportamenti sono una matassa inestricabile tra le pulsioni animalesche degli antenati delle caverne e la splendida razionalità cartesiana che abbiamo sviluppato negli ultimi due millenni. In questa sintesi tremenda e bellissima camminiamo sulla Terra noi umani che portiamo in una fragile struttura biologica e mortale, frutto di milioni di anni di evoluzione, la nostra razionalità potentissima e super-evoluta, ma nello stesso tempo cosi provvisoria e destinata a finire.

Dunque siamo una sintesi tra aspetti razionali e aspetti che non lo sono affatto e in questa nostra vita siamo condotti a volte a prendere decisioni vitali nelle quali non possiamo applicare del tutto criteri di razionalità Logica spesso per mancanza di una conoscenza dettagliata delle situazioni nelle quali siamo o a causa della limitatezza dei nostri sensi o perché non abbiamo tempo sufficiente per una analisi approfondita. In tutti questi casi le scelte sono quelle tipiche di un uomo che valuta istintivamente un grande numero di variabili che non conosce bene e esce con una decisione ma spesso non sa spiegare nel dettaglio il motivo della scelta.

La Logica sfumata o Logica Fuzzy, nata nel 1965 dai lavori di Lofti A. Zadeh, allora direttore del Dipartimento di Ingegneria Elettrica della Università di Berkeley è una forma di Logica che modella matematicamente questo stato di cose. Essa è stata sviluppata per poter offrire un aiuto a districarsi in casi nei quali non esiste la possibilità di applicare i criteri classici della Logica per mancanza di informazioni o per la necessità di scegliere in fretta. Essa costituisce un tentativo interessante di razionalizzare condizioni tipicamente umane di sintesi di aspetti razionali e irrazionali.

La Logica Aristotelica sostiene che non si può affermare e negare al tempo stesso, e afferma che non si può affermare che un certo essere sia, e contemporaneamente non sia. I suoi principi hanno influenzato in modo determinante il metodo scientifico occidentale e hanno lasciato in eredita la logica bivalente secondo cui ogni enunciato può essere solo vero o solo falso. Essa fa costante riferimento al principio di non contraddizione che ha pervaso tutto il pensiero matematico scientifico occidentale fino ai giorni nostri.

La Logica Sfumata di Zadeh lavora con le "variabili linguistiche", cioè con categorie più o meno ordinate, e con insiemi dai contorni imprecisi, in cui gli elementi possano essere ambigui. Per esempio "Giovane" -"non molto giovane"- "di mezza età", ecc sono etichette verbali che corrispondono ad insiemi sfumati, caratterizzati cioè da funzioni di appartenenza non binarie. La funzione di appartenenza degli insiemi che rispettano il requisito della mutua esclusività può assumere solo due valori (0 se l'oggetto non appartiene all'insieme, 1 se vi appartiene); l'analoga funzione fuzzy può invece assumere qualsiasi valore compreso tra 0 e 1. In questo modo, una persona che giudichiamo "abbastanza giovane" appartiene, poniamo, per lo 0,70 alla classe dei giovani e per lo 0,30 a quella dei non giovani. Secondo la Logica Sfumata, "giovane" e "non giovane" sono i poli di un continuum tra i quali esistono molte gradazioni; anziché tracciare un confine netto tra A e non-A (giovane e non-giovane) in corrispondenza di un punto scelto in modo più o meno arbitrario, la Logica Sfumata traccia una curva, che descriva come la proprietà "essere giovane" passi gradatamente dal manifestarsi in grado pieno al non manifestarsi affatto. La stessa parola Sfumato rappresenta bene il passaggio da una Logica bianco-nero cioè vero che si contrappone a falso e "questo elemento appartiene a questo insieme" con qualcosa di confuso e di poco chiaro in cui non è possibile capire tutto perché non tutto è capibile dato che i contorni delle cose non sono distinguibili e spesso non si può neanche definire una cosa in modo inequivocabile (chi sono io? chi sei tu?). Negli insiemi Sfumati non vale il principio di non contraddizione quindi se una cosa è vera non è escludibile che sia vero anche il suo contrario.

In Logica Sfumata i paradossi classici della Logica come ad esempio il paradosso del mentitore che generavano un regresso all'infinito nella Logica tradizionale sono sdoganati attribuendo un concetto di "verità parziale" alle assunzioni.

Ma la cosa veramente sorprendente è che le prime applicazioni della Logica Sfumata a sistemi reali si sono dimostrate molto ben funzionanti, segno che la "realtà" comprende in un qualche senso la Logica Sfumata e la riconosce valida. Per esempio il riconoscimento di immagini in moltissimi campi, dalla diagnostica medica al telerilevamento satellitare ai riconoscimenti facciali. Ma le applicazioni più sorprendenti sono quelle nelle quali si simula meglio il comportamento delle scelte umane e quindi la Logica Sfumata si applica nei Sistemi che autoapprendono e scelgono la miglior soluzione nei contesti che mutano. Ad esempio dei microprocessori a Logica Sfumata sono stati montati su lavatrici che scelgono autonomamente il tipo di lavaggio a seconda del carico o del livello di macchie dei tessuti o vengono inseriti nei quadri comando delle metropolitane per decidere il numero di corse ottimali in funzione dell'affollamento e cosi via.

L'ultimo aspetto da sottolineare in questo tipo di approccio è una considerazione sulle "stranezze" del Mondo Microscopico descritte dalla Meccanica Quantistica. Il Principio di Indeterminazione o la natura ondulatoria della Materia, l'Entanglement o la presenza di Materia Oscura potrebbero farci pensare che le categorie della Logica e l'associato nostro modo di pensare tradizionale debba lasciare il passo a nuovi modi di descrivere la realtà. Essi sono senz'altro sorprendenti e sulla prima fastidiosi ma forse si rivelano più adatti a descrivere un Mondo che, mano mano che si scopre meglio, risulta sempre più diverso da come ce lo aspettiamo.